Simulated Annealing

Algorithm
random algorithm

爬山算法

爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。

模拟退火(Simulated Annealing)

爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

模拟退火算法描述：
  • 若移动后得到更优解，则总是接受该移动
  • 若移动后的解比当前解要差，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。
根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

P(dE) = exp( dE/(kT) )

其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE小于0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT 小于0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1).
随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

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* J(y)：在状态y时的评价函数值
* Y(i)：表示当前状态
* Y(i+1)：表示新的状态
* r： 用于控制降温的快慢
* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索

while( T > T_min ) {
    dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;
    if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
        Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
    else {
        // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也
        if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
            Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
    }
    T = r * T ; //降温退火 ，0 < r < 1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快
    /*
    * 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值
    */
    i++ ;
}
使用模拟退火算法解决旅行商问题

旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：

  1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
  2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
  3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

  • 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
  • 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
  • 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。
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